La lemniscate

Histoire de la Lemniscate de Bernoulli

La Lemniscate, du grec « lêmniskos » (nœud de ruban), est une courbe algébrique baptisée en 1694 par le mathématicien bâlois Jaques Bernoulli (1654-1705) dans un article [1] pour le numéro de septembre 1694 de la revue scientifique mensuelle allemande Acta Eruditorum (publiée de 1682 à 1782 à Leipzig sous la direction d'Otto Mencke et de Gottfried Wilhelm Leibniz). En voici la forme :

Lemniscate

Bernoulli fut conduit à l'étude de la lemniscate par ses recherches sur les courbes élastiques. Il introduit explicitement la courbe en définissant une des branches par l'équation : \(x^2+y^2=a\sqrt{x^2-y^2}\).

Extrait de la revue Acta Eruditorium de septembre 1694, p. 337.


Extrait de la revue Acta Eruditorium de septembre 1694, p. 339.

On reconnaît là le symbole utilisé en 1665 par John Wallis (1616-1703) pour représenter l'infini.

Après Jacques Bernoulli, Daniel Bernoulli (1700-1782) et Camille Gérono (1799-1891) ont étudié cette courbe.

Définition

La lemniscate de Bernoulli est définie ainsi : soient deux points fixes F et F' appelés foyers et O, milieu du segment [FF'], on appelle lemniscare de Bernoulli l'ensemble des points M du plan tels que : \[MF \times MF'=OF^2\]

Lemniscate de Bernoulli

Là où cercles, ellipses, paraboles et hyperboles sont des coniques, c'est-à-dire des courbes dont l'équation est de second degré, la lemniscate est, quant à elle, une quartique, autrement dit, une courbe dont l'équation est du quatrième degré. Son équation est : \[(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 − y^2)\]

La Lemniscate comme conchoïde

Par ailleurs, la lemniscate est une conchoïde : de manière mécanique, elle décrit la trajectoire d'un point sur une bielle. Sur la figure ci-dessous, on a représenté l’ensemble des milieux des segments de longueur FF′ dont les extrémités décrivent les cercles de rayon a et de centres F et F′.

Lemniscate de Bernoulli

Le mécanisme de Watt, inventé par l'ingénieur écossais James Watt (1736-1819), connu pour ses travaux sur les machines à vapeur, permet de tracer au crayon sur papier la Lemniscate de Bernoulli. Sur l'illutration ci-dessous, déplacer le point orange pour tracer la courbe.

Mécanisme de Watt pour le tracé de la Lemniscate de Bernoulli

Sur l'illustration ci-dessous est filmé un mécanisme de bielles en rotation dont le lieu du milieu de la seconde décrit une lemniscate.

Déterminer le lieu du milieu de la seconde bielle.

Trois généralisations

La lemniscate de Bernoulli est un cas particuliers des trois courbes planes suivantes.

La Spirique de Persée

Une spirique de Persée est une courbe plane dont l'équation algébrique est : \[ (x^2+y^2)^2=ax^2+by^2+c \] On a représenté ci-dessous différentes spiriques de Persée.

La spirique de Persée

L'Hippopède de Proclus

L'hippopède de Proclus, courbe algébrique encore appelée « lemniscate de Booth » est une lemniscate du plan euclidien dont l'équation algébrique est : \[ \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4y^{2}=4a\left(x^{2}+y^{2}\right) \] On a représenté ci-dessous l'Hippopède de Proclus pour différentes valeurs de \(a\).

L'Ovale de Cassini

On appelle ovale de Cassini une courbe vérifiant la contrainte suivante : pour deux points A et B fixés et un nombre \(k\) donné, la courbe est l'ensemble des points M du plan tels que \(MA \times MB = k\). On a représenté ci-dessous l'Ovale de Cassini pour différentes valeurs de \(k\).

Ovales de Cassini

NOTES

[1] Jacques Bernoulli, « Constructio curvæ accessus et recessus aquabilis, ope rectificationis », in Acta eruditorum, Leipzig, septembre 1694, pp 336-339.